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向量的数乘的长度和方向规定-数乘运算的坐标表示-实数与向量积的运算律详细信息
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一、向量数乘运算的理解

①向量数乘运算结果仍然是向量.
②实数与向量的积的特殊情况:
 
③实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如 无意义。
④由向量数乘的概念可知其几何意义,可以把向量a的长度扩大(当 时),也可以缩小(当 时),同时,我们可以不改变向量a的方向 ,也可以改变向量a的方向(当λ<0时)。

向量的数乘的长度和方向规定 
二、向量的数乘的定义:
我们规定实数λ与向量 的积是一个向量,记作λ ;
三、向量的数乘的长度和方向规定如下:
(1) ;
(2)当λ>0时,λ 的方向与 的方向相同;当λ<0时,λ 的方向与 的方向相反;当λ=0时, ;注意:λ ≠0
四、数乘运算的坐标表示:
设 ,则 。
五、实数与向量积的运算律:
(1) ;
(2) ;
(3) 。
 1. 向量表示
向量指具有大小方向的量,也称为矢量。可以从几何和坐标两个角度来表示。
1)几何表示
向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,也就是向量的长度。箭头所指的方向表示向量的方向。
长度为 0 的向量叫做零向量。长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量。
2)坐标表示
空间中有无数条有向线段,长度和方向相同的向量也有无数条,那如何表征一个向量呢?
在空间或者平面建立坐标系,任何一个向量都可以平移到以原点为起点的位置,这时就可以用向量终点的坐标来表征这个向量,记为 
a=(x,y,z,...)a=(x,y,z,...)
坐标表示和几何表示是不同的,几何表示的向量起点可以是任意位置,而坐标表示的向量起点只能是原点。
一个任意位置的向量如何求出它的坐标?用此向量的有向线段终点坐标减去始点坐标。

 

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向量的数乘的长度和方向规定-数乘运算的坐标表示-实数与向量积的运算律
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