曲线的参数方程公式-参数的取值范围-参数方程与普通方程的统一性详细信息
| 宜城教育资源网www.ychedu.com曲线的参数方程公式-参数的取值范围-参数方程与普通方程的统一性曲线的参数方程" 曲线的参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在这条曲线C上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程。变数t叫做参变量或参变数，简称参数。" 曲线的参数方程的理解与认识：（1）参数方程的形式：横、纵坐标x、y都是变量t的函数，给出一个t能唯一的求出对应的x、y的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标x、y之间的关系并不一定是函数关系。曲线对于平面或空间内的任意运动，同样可以用参数方程表示。摆线的参数方程摆线是一种有名的曲线，它描述了当车辆匀速直线运动时，车轮上点的运动轨迹。如下图所示，P是半径为a的车轮边缘上的一点，刚开始时在原点，当车轮向右滚动后，P点将随之转动：我们关注的问题是车轮滚动后P的轨迹，也就是t时刻P点的位置。如果P点是位置关于时间的函数，用参数方程可以表示为Q(t)=(x(t),y(t))。这意味着从时间的角度来表示位置，然而时间并非最好的参变量，因为P的轨迹是与时间无关的，即使车速变快，P的运动轨迹也不会改变。我们注意到，当车轮匀速运动时，P的角度和时间成正比：∠θ和运动时间成正比，如果θ超过2π，则相当于开始了一个新的周期，对于角度的运算，3π和π是相同的。由此，可以将时间替换为角度，也就是使用车轮转动角度做参变量将得到更简单的答案：将车轮转换为上图所示的向量(向量可参考《线性代数笔记2——向量（向量简介）》)，则向量OP的参数方程就可以表示P点的运动轨迹。由于车轮是沿着地面转动，且最初P的位置与O相同，所以在第一圈时，OA=PA的弧长（我承认在画图时比较随意，看起来它们并不相等）：实际上，无论第几圈，上式都成立。由于已经知道了OA和AB的长度，可以得出相应的向量：现在只需要求出向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标，由于向量只描述了大小和方向，所以向量和具体位置无关，因此可以通过将向量BP平移求得BP：最终：摆线的斜率在车轮滚动一圈后，点P回到x轴，开始进入下一个周期，两个周期相交于一点。有一个值得关注的问题是，如果在该点处作轨迹曲线的切线，切线的斜率是什么？如下图所示，就是计算P5处轨迹曲线的切线：为了简化问题，将当车轮看作单位圆，此时a=1，在P5处，θ=2π，斜率：此时没有意义，但可以计算极限：因此，在P5处，斜率趋近于∞，也就是有一条垂直于x轴的切线。也可以使用泰勒展开式计算斜率（泰勒级数可参考《数学笔记31——幂级数和泰勒级数》)：示例示例1两条直线L1和L2是否相交，如果相交，其交点是什么？可以用以往的知识将参数方程转换为普通方程：方程组有唯一解，x=1,y=2，两条直线相交于(1,2)也可以直接用参数方程求解。如果两条直线相交，参数方程组有唯一解：将解代入参数方程：两条直线相交于(1,2)示例2直线L经过P(0,-1,1)和Q(2,3,3)两点，直线与平面2x+y–z=1的关系？设直线方程是L(x(t),y(t),z(t))，则：将L的参数方程代入平面方程：t有唯一解，指向与平面相交。将t代入直线的参数方程，交点是(1,1,2)（2）参数的取值范围：在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。（3）参数方程与普通方程的统一性：普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。 宜城教育资源网www.ychedu.com |
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