一、数列的极限定义

如果当项数n无限增大时，无穷数列 的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列 的极限，记作 ，也可记做当n→+∞时，an→a。
二、数列的极限严格定义：
即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列 的极限。
三、数列极限的四则运算法则：
 
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。
1、定义（描述性的）：如果当项数n无限增大时，无穷数列 的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列 的极限，记作 ，也可记做当n→+∞时，an→a。
2、an无限接近于a的方式有三种：第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时， ；第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是 ；
第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时， 。
3、严格定义：即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列 的极限。
4、一些常用数列的极限：
（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当 时， ；
（3）当|q|＜1时， ；当q＞1时， 不存在；
（4） 不存在， 。
（5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则 （只有在0＜|q|＜1时）。
5、数列极限的四则运算法则：
若 ，则
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） 。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。
四、an无限接近于a的方式有三种：
第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时， ；
第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是 ；
第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时， 。
五、一些常用数列的极限：
（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当 时， ；
（3）当|q|＜1时， ；当q＞1时， 不存在；
（4） 不存在， 。
（5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则 （只有在0＜|q|＜1时）。