宜城教育资源网www.ychedu.com一、同角三角函数的基本关系
1.三角函数倒数关系:tanαcotα=1;sinαcscα=1;cosαsecα=1。 2.三角函数商数关系:tanα=sinα/cosα;cotα=cosα/sinα。 3.平方关系:sin²α+cos²α=1;1+tan²α=sec²α;1+cot²α=csc²α。
说明:(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如,当α=(k∈Z)时,tanα·cotα=1就不成立. 另外,要注意是同角,如sin2α+cos2α=1,但sin2α+cos2β=1就不恒成立. (2)对公式除了顺用,还应学会逆用、变用、活用.例如,由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα·cosα=等等. 二、三角函数的半角公式 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα)) 三、三角函数的万能公式 sin(α)=[2tαn(α/2)]/[1+tαn2(α/2)] cos(α)=[1-tαn2(α/2)]/[1+tαn2(α/2)] tαn(α)=[2tαn(α/2)]/[1-tαn2(α/2)] 四、三角函数倍角公式 Sin2A=2SinA*CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) 对于cosα=±,"±"号的选取要由α所在象限来确定,当α在第一或第四象限时,取"+";当α在第二或第三象限时,取"-".而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角,tanα=而不能认为tanα=-(因为α是第二象限角,所以tanα为负值).其实α在第二象限,sinα为正值,cosα为负值,所以tanα=结果自然得负值,如果再加"-",结果就得正值了. (3)要注意"1"的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα·cscα,tanα·cotα等去代换1. (4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1,如tanα·cotα=1. ②在阴影的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方,如1+tan2α=sec2α。 ③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积,如sinα=cosα·tanα,cosα=sinα·cotα. 五、同角三角函数关系式的应用 主要解决如下几类问题: (1)已知某角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数. (2)三角函数式的化简. (3)证明三角恒等式,熟悉几种常用方法. 六、【重点难点解析】 1.同角三角函数的基本关系反映了各种三角函数之间的内在联系,这些关系式为三角函数式的求值、化简与证明等恒等变形提供了工具和方法,导出这些关系式的过程与方法——利用三角函数的定义方法,本身就是一种重要的证题方法. 2.已知角α的一种三角函数值,而利用关系式求其它三角函数值时,一般要用一次平方关系式,此时在实施开方运算而选择符号时,要依据α的象限定符号,而用其他关系式时,则结果取自然运算符号. 3.对三角函数式的化简问题,首先要明确化简标准与目标,即要尽量使次数低、项数少、函数种类少;尽量使式中不含三角函数;尽量使分母中不含三角函数;能求出值的必须求出值. 对于三角恒等式的证明,要明白其实质是通过恒等变形消除等式两端外形上的差异,因此观察与寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律,是确定实施怎样的变形以及选择什么样的三角公式的依据,这些恒等变形的能力要重点培养.同角三角函数的关系式: (1) ; (2)商数关系: ; (3)平方关系: 。 同角三角函数的基本关系的应用: 已知一个角的一种三角函数值,根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系,可以求出这个角的其他三角函数值. 同角三角函数的基本关系的理解: (1)在公式中,要求是同一个角,如 不一定成立. (2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的,如:基本三角关系式 。对一切α∈R成立; Z)时成立. (3)同角三角函数的基本关系的应用极为为广泛,它们还有如下等价形式: (4)在应用平方关系时,常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念,应注意“±”的选取. 间的基本变形 三者通过 ,可知一求二,有关 等化简都与此基本变形有广泛的联系,要熟练掌握。 宜城教育资源网www.ychedu.com |