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一元二次函数顶点坐标公式推导过程-二次函数的图像与a,b,c的关系详细信息
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一元二次函数的顶点坐标公式

  对于二次函数y=ax^2+bx+c
  其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
顶点式:y=a(x-h)^2+k
[抛物线的顶点P(h,k)]
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2a= (x₁+x₂)/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点:x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

一元二次函数顶点坐标公式推导过程 

  二次函数的图像

  1.二次函数图像是轴对称图形,对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
a,b同号,对称轴在y轴左侧; a,b异号,对称轴在y轴右侧。
  2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)。
  3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图象向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
  4.二次函数图像与y轴交于(0,C)点  注意:顶点坐标为(h,k),与y轴交于(0,C)。

  一元二次函数的三种表达式

  1.一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),如:y=2x2+3x+4;
  2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),如:y=2(x-5)2+3;
  3.两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标),如:y=2(x-1)(x+3)。
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化。

  二次函数顶点坐标怎么算

方法一
先令二次函数等于零,求出二次函数与x轴的两个交点。由二次函数与x轴的交点横坐标可知,二次函数对称轴为直线x=0。由图像可知,二次函数顶点的横坐标为对称轴的横坐标,所以求顶点坐标将对称轴坐标代入即可。
方法二
由上述可知,二次函数y=ax^2+bx+c顶点坐标公式为(如图所示),求二次函数顶点坐标代公式即可(-b/2a,4ac-b^2/4a)

  二次函数顶点坐标公式推导过程

y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)
y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
对称轴x=-b/2a
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

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一元二次函数顶点坐标公式推导过程-二次函数的图像与a,b,c的关系
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