正比例和反比例的区别和联系

1.找出两种相关联的量。

2.根据两种相关联的量之间的关系列出数量关系式。

3.如果两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，就是成正比例的量；若积一定，就是反比例的量。

正比例和反比例关系：

相同点：

①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。

②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大（乘以一个数）或缩小（除以一个数）若干倍的变化。

不同点：

①正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。

②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。

③公式不同：正比例是（ =k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。

④规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。　

正比例：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，正比例的图像是一条直线；

用字母表示为如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用以下关系式表示： =k（一定）；

正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．正比例和反比例

反比例：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系；

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定）。

◎ 正比例的意义，反比例的意义的知识扩展

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化：

当两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定时，它们是正比例关系，关系式为： =k（一定）；

当两种量中相对应的两个数的积一定时，它们是反比例关系，关系式为：xy=k（一定）。

◎ 正比例的意义，反比例的意义的特性

反比例的意义：

成反比例的量包括三个数量，一个定量和两个变量。研究两个变量之间的扩大（或缩小）的变化关系。一种量发生变化，引起另一种量发生相反的变化。这两种量是反比例的量，它们的关系成反比例关系。

成反比例的量：

前提：两种相关的量（乘法关系）

要求：一个量变化，另一个量也随着变化，并且，这两个量中相对应的两个数的乘积一定。

结论：这两个量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

◎ 正比例的意义，反比例的意义的知识对比

一、正确认识两者的意义

　　正比例和反比例的意义教材中是安排在从Ｐ39到Ｐ47来进行叙述讲解的，且都是通过对实验中的数据进行分析之后概括得出的结论，这样学生相对易于接受。

　　1.正比例的意义：教材中的表述是“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。”

　　2.反比例的意义：教材中的表述是“两种相关联的量，一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。”

　　二、 正比例和反比例的表达式

　　（一）正比例关系的表达式

　　如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的关系式来表示：

　　y/x=k（一定）或y =kx（k一定）

　　（二） 反比例关系的表达式

　　如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用下面的关系式来表示：

　　X×y=k（k一定）或y=kx（k一定）

　　三、正比例和反比例的规律及实质

　　1.正比例关系中两种相关联的量的变化规律。正比例关系中两种相关联的量的变化规律是：同时扩大，同时缩小，比值（或商）不变。

　　例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

　　完成该题练习时，可以先写出路程、速度和时间三者之间的关系式：速度=路程/时间，已知条件中速度为一定（即常量），根据“速度=路程/时间”这一关系式，结合正比例的意义，即可知道所行的路程和所用的时间是成正比例关系的。也就是说，当速度一定时，走的路程越多，所花费的时间也越多，反之，亦然。换句话说，路程和时间是成倍增长或缩小的。

　　2.反比例关系的两种相关联的量的变化规律

　　反比例关系的两种相关联的量的变化规律是：一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变。

　　例如：当图上距离一定时，实际距离和比例尺是否成反比例？ 因为实际距离×比例尺=图上距离（一定） ，所以，实际距离和比例尺是成反比例的。

　　四、正比例和反比例的异同点

　　（一）正比例和反比例的相同点

　　1.在事物关系中都包含有三个量，即有两个变量和一个常量（即定值）。

　　2.在相关联的两个变量中，当一个变量发生变化时（扩大或缩小），则另一个变量也随之发生变化。

　　3.它们相对应的两个变量的积或商都是一定的（即常量）。

　　也就是说，在正比例和反比例的两个相关联的变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大（乘以一个数）或缩小（除以一个数）若干倍的变化。

　　（二）正比例和反比例的不同点

　　1.正比例的定量（或定值）是两个变量中相对应的两个数（即变量）的比值（或商）。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。

　　2.当用图象来表示正比例或反比例中两个变量之间的关系时，所画出来的图象是不一样的。正比例的图象是一条倾斜的直线（又叫斜线）。反比例的图象是一条曲线，且两端永远不会与两条轴线（即横轴和纵轴或函数中所称的x轴和y轴）相交。

　　（三）正比例、反比例之间可以相互转化

　　当正比例中的x值（自变量的值）转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，则由反比例转化为正比例。

　　需要说明的是，教科书中在“正比例和反比例的意义”的讲解中，并没有指出正比例和反比例关系表达式中常量和变量的取值范围。根据正比例的关系式y/x=k（一定）和反比例的关系X×y=k（k一定）可以知道，无论是正比例还是反比例，两个变量x、y和常量k均不能为零。试想，在正比例y/x=k（一定）中，如果x为0，式子无意义；如果y为0，x不为0，则x的值是不确定的（这时候k的值为0），此时x和y就不存在正比例的说法了。同样，在反比例X×y=k（k一定）中，如果x和y两个变量中，只要其中一个为0或两个都同时为0，则k的值都为0，x和y也无所谓反比例关系了。再说，如果x和y同时为0的话，那么x和y也不叫变量了，都不符合反比例的意义。所以，无论是正比例关系，还是反比例关系中，两个变量x和y以及常量k都不能为0。

　　因此，当正比例或反比例关系中其中一个变量用字母表示时，要求我们通过讨论确定另一个变量的取值范围的时候，我们就要注意正比例或反比例关系中两个

正比例和反比例的判断方法

一、分清三种量

首先要弄清两种量是不是相联的量，那种量是固定不变的量，“相关联”是什么意思呢？顾名思义，“相关联”就是有联系，有关系。即一种量的变化会引起另一种量的变化。如速度和里程是有联系有关系的：功效和时间、长方形的面积和它的宽等都分别是相关联的量。路程和功效就不是相关联的量，因而久谈不上什么比例关系。圆的周长=直径×π，其中π就是固定不变的量。李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间成什么比例判断中，其中从家到工厂的路程是固定不变的量，骑自行车的速度和所需的时间是两种相关联的量。例如：圆的周长一定时，直径和圆周率学生会误认为反比例。其实不是，这是因为周长一定，圆周率本身就一定，这三个量都成了定量，就不是比例关系了。圆的周长=直径×圆周率。所以正确的说法是圆的周长跟直径成正比例，这里圆的周长不一定。

二、列出关系式

看两种相关联的量是否存在着商或积的关系。这是判断正、反比例的核心所在，成正、反比例的两相同之处都是一种量变化，另一种量也随着变化。不同之处是正比例变化方向相同，反比例变化方向相反，正、反比例关系式不相同，正比例是比值（也就是商）一定，反比例是积一定。例如“苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价是否成正比例”，这是因为：“总价/数量=单价（一定）”，所购买苹果的总价和数量成正比例关系。又如：“平行四边形的面积一定时，它的底和高是成什么比例？”我们稍加分析就得出：“底×高=平行四边行的面积（一定），”所以说底和高成反比例关系。例如：“正方形的边长和它的面积是否成比例。”从表面上看，正方形的面积是随着正方形边长的扩大（或缩小）而扩大（或缩小）的，但是根据：S=a2得出：“S/a=a”，这里的边长a是一个变量，所以不符合正比例关系特征。又例如：“圆的面积和半径是否成正比例”，乍一想，圆的面积随半径扩大（或缩小）而扩大（或缩小），但是根据：S=πr2得出S/r=πr，因为半径r不一定，所以πr就不一定，而S/r2=π（一定），因此，我们说，圆的面积和半径不成正比例关系，而是圆的面积跟半径的平方才成正比例关系。

三、要找准常量

常量就是比例关系中的定量，这种现象在面积，体积等公式中经常会出现。例如：三角形的面积一定时它的底和高成什么比例？因为S=ah，公式中的给学生判断增加了难度，但是公式稍作变换可以得出ah=2S，因为S一定，即“2S”也一定，所以底和高成反比例關系。

四、等式非乘或除，不存在比例关系

有些相关联的量，虽然也是一种量的变化，另一种量也随着变化，但两种量中的相对应的两个数的比值或积也不一定，就不成比例，如人的身高和体重就不成比例，又例如：“播种的总公顷数一定，已经播种的公顷书和剩下的公顷数是不是成反比例？”我们知道，播种的总公顷数一定，已经播种的越多，剩下的就越少，它们是相关联的量，但是二者的关系是：已经播种的公顷书+剩下的公顷数=要播种的总公顷数（一定），它们的和一定，而不是积一定，所以它们不是反比例关系。因此不能把“增加或减少”误认为是“扩大或缩小”。

五、乘除有机结合，判断正、反比例

因为乘法和除法是互为逆运算，由“因数×因数=积”可得出 “积÷因数=因数”。所以正、反比例可以统一为一个式子：因数×因数=积，如果积一定，两个因数就成反比例关系。其中一个因数一定，积和另一个因数成正比例关系。例如：“速度×时间=路程”关系式中，路程一定时，速度和时间的积就一定，所以速度和时间成反比例：时间一定时，路程和速度的商就一定，它们就成正比例关系。

总而言之，对正、反比例额判断一定要根据它们的意义来判断。教学中教师要充分调动学生学习的主动性，培养学生思维的灵活性，引导学生从不同角度，不同侧面去思考问题，探究其中的规律，培养学生创新思维的能力。