解三角形知识点梳理框架图-解三角形例题及解析-解三角形常见题型详细信息
| 宜城教育资源网www.ychedu.com解三角形知识点梳理框架图-解三角形例题及解析-解三角形常见题型解三角形知识点梳理解三角形(一)解斜三角形1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的面积的公式。2、能解决的四类型的问题：(1)已知两角和一条边(2)已知两边和夹角(3)已知三边(4)已知两边和其中一边的对角。(二)解直角三角形1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1)角A和角B的和是90度；(2)勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方；(3)角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c；(4)面积的公式s=ab／2；此外还有射影定理，内外切接圆的半径。(1)实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程组得出所要求的解．(3)实际问题抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解．注意：(1)解三角形应用题中，由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器进行运算，当然还应注意达到算法简练、算式工整、计算准确等要求．(2)如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁．2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角；(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)；(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边；(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。解三角形练习题及答案1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sininBsinC＝abc.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析①②③不正确，④⑤正确．答案B2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23.答案B3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于()A.6－22B.6＋22C.2＋1D．3－2解析由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝bsininB，得a＝6＋22.答案B4．在△ABC中，已知3b＝23inB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案B5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析∵3a＝2bsinA，∴3sinA＝2sinBsinA.∵sinA≠0，∴sinB＝32，又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.答案D6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sinA－sinBsinC＝________.解析设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得2sinA－sinBsinC＝2×4k－3k5k＝1.答案17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则边c＝________.解析由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，由csinC＝bsinB，得c＝bsinCsinB＝22×1222＝2.答案28．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.解析∵tanA＝13，∴sinA＝110.在△ABC中，ABsinC＝BCsinA，∴AB＝BCsininC＝10×12＝102.答案1029．在△ABC中，若A：B：C＝1：2：3，则abc＝________.解析由A＋B＋C＝180°及A：B：C＝1:2:3，知A＝180°×16＝30°，B＝180°×26＝60°，C＝180°×36＝90°.∴a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案1：3：210．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.解(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°.∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理，得AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，故AE＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2.11．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求a＋bc的取值范围．解∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，∴A＝B，或A＋B＝π2.如果A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝π2.∴a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝2sinA＋π4.∵a≠b，C＝π2，∴A∈0，π2，且A≠π4，∴a＋bc∈(1，2)．12．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．解(1)∵sin(C－A)＝1，－π<C－A<π，∴C－A＝π2.∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＋A＋π2＝π，∴B＝π2－2A，∴sinB＝sinπ2－2A＝cos2A＝13.∴1－2sin2A＝13.∴sin2A＝13，∴sinA＝33.(2)由(1)知，A为锐角，∴cosA＝63，sinC＝sinπ2＋A＝cosA＝63，由正弦定理得AB＝ACsinCsinB＝66313＝6.S△ABC＝12ABACsinA＝12×6×6×33＝32. 宜城教育资源网www.ychedu.com |
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