人教A版数学选修4-5模块综合检测卷_人教版数学选修4-5课后习题答案_数学选修4-5公式详细信息
| 宜城教育资源网www.ychedu.com人教A版数学选修4-5模块综合检测卷_人教版数学选修4-5课后习题答案_数学选修4-5公式模块综合检测卷(测试时间：120分钟，评价分值：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案:C2．不等式|3x－2|<4的解集是()A.x|x＞2B.xx＜－23C.xx＜－23或x＞2D.x－23＜x＜2答案:D3．已知a，b，c，d∈R，且ab＞0，－ca＜－db，则下列各式恒成立的是()A．bc＜adB．bc＞adC.ac＞bdD.ac＜bd答案:B4．若a，b，x，y∈R，则x＋y＞a＋b，（x－a）（y－b）＞0是x＞a，y＞b成立的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案:C5．给出三个条件：①ac2＞bc2；②ac＞bc；③a2＞b2.其中能分别成为a＞b的充分条件的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案:B6．若a＞0，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范围是()A．0＜a＜1B．a＝1C．a≥1D．a＞1答案:D7．设x>0，y>0且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是()A.1x＋y≤14B.1x＋1y≥1C.xy≥2D.1xy≥14答案:D8．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为()A．2f(k)B．k－1＋f(k)C．f(k)＋kD．f(k)＋2答案:B9．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足："当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立"，那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)＜k2成立C．若f(7)≥49成立，则当k＜7时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：∵f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立．当k＝4时，f(4)＝25>16＝42成立，∴当k≥4时，有f(k)≥k2恒成立．答案：D10．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－1>2n＋12成立，当n＝2时验证的不等式是()A．1＋13>52B.1＋131＋15>52C.1＋131＋15≥52D．以上都不对解析：当n＝2时，左边＝1＋12×2－1＝1＋13，右边＝2×2＋12＝52，∴应验证1＋13>52.答案：A11．用数学归纳法证明"对于任意x>0时的正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋1xn－4＋1xn－2＋1xn≥n＋1"时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1，2D．以上答案均不正确解析：∵n∈N＋，∴n的最小值为1，即n0＝1.答案：A12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1(|x|≤1)，则g(x)与M的关系是()A．g(x)MB．g(x)∈MC．g(x)?MD．不能确定解析：因为g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x22－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y＝3x＋4x2(x>0)的最小值为________．答案：33914．x，y∈R，若x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________．答案：1215．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4×2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4×2k－1－2，那么当n＝k＋1时，______________________________________．答案：ak＋1＝2ak＋2＝2(4×2k－1－2)＋2＝4×2k－2＝4×2(k＋1)－1－216．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)已知a、b、c∈R＋，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋b＋a－cc≥3.证明：∵a、b、c∈R＋，b＋c－aa＋c＋a－bb＋b＋a－cc＝ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋bc＋ac－1＝ba＋cb＋ac＋ca＋bc＋ab－3≥33ba×cb×ac＋33ca×bc×ab－3＝3.当且仅当a＝b＝c时等号成立．18．(本小题满分11分)已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，得2|x－1|≥1.∴x≥32或x≤12.∴不等式的解集为－∞，12∪32，＋∞.(2)∵原不等式的解集为R，∴|ax－1|＋|ax－a|≥1对一切实数x恒成立．又∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，∴|a－1|≥1，∴a≥2或a≤0.∵a>0，∴a的取值范围为[2，＋∞)．19．(本小题满分12分)设x>0，y>0，证明：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.证明：证法一(分析法)所证不等式等价于(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3，即3x2y2(x2＋y2)>2x3y3，只需证：x2＋y2>23xy，∵x2＋y2≥2xy>23xy成立，∴(x2＋y2)12>(x3＋y3)13，证法二(综合法)∵(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，∵x>0，y>0，∴(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.20．(本小题满分12分)已知a＞b＞c＞0，方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，若该方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三边长．证明：∵方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0有实根，∴Δ＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2－2(a＋b)c＋c2＝[(a＋b)2－c]·[(a－b)2－c]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)≥0.若a，b，c为一个三角形的三边长，由a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0得a－b－c≥0，即b＋c≤a，即b＋c＜a.这与三角形两边之和大于第三边矛盾．∴a，b，c不能成为一个三角形的三边长．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋3x＋1(x≠－1)，设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足bn＝|an－3|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：bn≤（3－1）n2n－1；(2)求证：Sn＜233.证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋2x＋1≥1，因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*)，下面用数学归纳法证明不等式bn≤（3－1）n2n－1：①当n＝1时，b1＝3－1，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即bk≤（3－1）k2k－1，那么n＝k＋1时，bk＋1＝|ak＋1－3|＝（3－1）|ak－3|1＋ak≤3－12bk≤（3－1）k＋12k.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知不等式对任意n∈N*都成立．(2)由(1)知bn≤（3－1）n2n－1，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤(3－1)＋（3－1）22＋…＋（3－1）n2n－1＝(3－1)×1－3－12n1－3－12＜(3－1)×11－3－12＝233.故对任意n∈N*，Sn＜233.22．(本小题满分12分)已知数列{bn}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项；(2)设数列{an}的通项an＝loga1＋1bn(其中a>0且a≠1)，设Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与13logabn＋1的大小，并证明你的结论．解析：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意，得10×1＋10×（10－1）2×d＝145，∴d＝3，bn＝3n－2.(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga1＋14＋…＋loga(1＋13n－2)＝loga（1＋1）1＋14…1＋13n－2，13logabn＋1＝loga33n＋1，因此要比较Sn与13logabn＋1的大小，可先比较(1＋1)·1＋14…1＋13n－2与33n＋1的大小，取n＝1，有(1＋1)>33×1＋1，猜想取n≥1，n∈N*，有(1＋1)1＋14…(1＋13n－2)>33n＋1，下面用数学归纳法证明之：①当n＝1时，已验证不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即(1＋1)1＋14…1＋13k－2>33k＋1，则当n＝k＋1时，(1＋1)1＋14…1＋13k－21＋13（k＋1）－2>33k＋11＋13k＋1＝33k＋13k＋1·(3k＋2)，∵33k＋13k＋1（3k＋2）3－(33k＋4)3＝（3k＋2）3－（3k＋4）（3k＋1）2（3k＋1）2＝9k＋4（3k＋1）2>0.∴33k＋13k＋1·(3k＋2)>33k＋4＝33（k＋1）＋1，因此(1＋1)(1＋14)…(1＋13k－2)[1＋13（k＋1）－2]>33（k＋1）＋1.这说明，当n＝k＋1时不等式也成立．由①②知，对一切n∈N*，不等式(1＋1)(1＋14)…1＋13n－2>33n－1都成立．再由对数性质，可得：当a>1时，Sn>13logabn＋1；当0<a<1时，Sn<13logabn＋1. 宜城教育资源网www.ychedu.com |
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