____第1课__集合及其基本运算(1)____

1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．

2. 会求集合的交集、并集、补集.

1. 阅读：阅读必修1第5～10页．

2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．

3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.

　基础诊断　

1.  设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝__{0，1}__．

2.  已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，那么A∪∁_UB＝__{1，2，5}__．

解析：由题意得∁_UB＝{1，5}，

所以A∪∁_UB＝{1，2，5}．

3. 已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，5，9}，B＝{3，5，9}，则∁_U(A∪B)的子集个数为__2__．

解析：由题意得A∪B＝{1，3，5，9}，

所以∁_U(A∪B)＝{7}，

所以∁_U(A∪B)的子集个数为2.

4.  已知集合A＝{0，a}，B＝{0，1，3}，若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a的值为__2__．

解析：因为A∪B＝{0，1，2，3}，

A＝{0，a}，B＝{0，1，3}，所以a＝2.

　范例导航　

考向❶  利用数轴求集合的交集、并集、补集

例1　设集合A＝，B＝{x|x²＋2mx－3m²<0}，m>0.

(1) 若m＝2，求A∩B；

(2) 若A⊇B，求实数m的取值范围．

解析：由题意得，集合A＝{x|－2≤x≤5}，

因为m>0，所以B＝{x|－3m<x<m}．

(1) 当m＝2时，B＝{x|－6<x<2}，

所以A∩B＝{x|－2≤x<2}．

(2) A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|－3m<x<m}，

因为A⊇B，所以

所以m≤，所以0<m≤.

综上所述，m的取值范围是.

全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝lg(x²－2x＋2)}，则A∪∁_IB＝(－∞，0)∪．

解析：由题意得，集合A＝{x|y＝}＝，集合B＝{y|y＝lg(x²－2x＋2)}＝{y|y≥0}，所以∁_IB＝{y|y<0}，所以A∪∁_IB＝(－∞，0)∪.

考向❷  对空集的分类讨论

例2　已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．

解析：当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，则

解得2<m≤4.

综上，m的取值范围是.

已知集合A＝{x|x²－2x－3＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若B⊆A，则m的值为__0，－1，__．

解析：由题意得，集合A＝{－1，3}．因为B⊆A，所以当B为∅时，m＝0；当B不为∅时，m＝－1或m＝.综上，m的值为0，－1，.

例3　若集合A＝{x|ax²＋ax＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．

解析：当a＝0时，不合题意，舍去；

当a≠0时，由题意得，Δ＝a²－4a＝0，解得a＝4.

综上所述，a＝4.

若集合A＝{x|ax²＋ax＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．

解析：由题意得，集合A为空集．

①若a＝0，符合题意；

②若a≠0，则Δ＝a²－4a<0，解得0<a<4.

综上，a的取值范围是[0，4)．

　自测反馈　

1.  设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a²＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．

解析：因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a²＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.

2.  已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．

解析：由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{x|－2≤x－1≤2}得M＝{x|－1≤x≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．

3.  下面四个命题中，正确命题的序号为__②__．

①某班个子较高的同学构成集合A；

②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；

③方程x²－2x＋1＝0的解集是{1，1}；

④∅与{∅}表示同一个集合．

解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．

4.  已知集合A＝，集合B＝{y|y＝x²，x∈A}，则A∩B＝__{1}__．

解析：由题意得，B＝，所以A∩B＝{1}．

1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．

2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．

3. 你还有哪些体悟，写下来：