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反比例函数的图象和性质学案-反比例函数面积规律-反比例函数k的几何意义模型详细信息
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26.1.2 反比例函数的图象和性质(2课时)

学习目标

1.能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题.

2.经历探索反比例函数与方程、不等式之间关系的过程,体会它们之间的内在的辩证关系.

3.进一步认识数形结合的思想和待定系数法,灵活 运用反比例函数的图象和性质解决问题.

一、反比例函数定义:

反比例函数的图象属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图象中每一象限的每一支曲线会无限接近XY轴但不会与坐标轴相交。
二、反比例函数图像和性质:
单调性
k>0时,图象分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,yx的增大而减小;
k<0时,图象分别位于第二、四象限,每一个象限内,从左往右,yx的增大而增大。
k>0
时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交,只能无限接近x轴,y轴。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点;反比例函数的图象也是轴对称图形,其对称轴为y=xy=-x;反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。
三、反比例函数中考考题:

反比例函数的应用解题一般步骤:
找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系;
列反比例函数表达式表示它们之间的关系;
 应用反比例函数的图象及性质解题
检验结果的合理性,检验是否符合实际意义
1
、如图,矩形ABCD的边ABy轴平行,顶点A的坐标为(12),点B与点D在反比例函数y=(x0)的图象上,则点C的坐标为_____

答案:(36
解析:BD两点的坐标分别为(1y)、(x2),再根据点B与点D在反比例函数y=
x0)的图象上求出xy的值,进而可得出C的坐标.

解:四边形ABCD是矩形,顶点A的坐标为(12),
BD两点的坐标分别为(1y)、(x2),
B与点D在反比例函数y=x0)的图象上,
y=6x=3
C的坐标为(36).
故答案为:(36).

2 如图,已知直线y=x/2与双曲线y=k/x(k0)交于AB两点,且点A的横坐标为2.过原点O的另一条直线l交双曲线y=x(k0)PQ两点(P点在第一象限),若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为6,则点P的坐标为_____

 


答案:(12)(41/2
解析:易得点A的坐标,把点A的坐标代入双曲线解析式可得k的值,根据AB两点关于原点对称也就得到了点B的坐标,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得SAPB=3,根据两点间的距离公式可得AB的长度,进而得到点P到直线AB的距离,设出点P的坐标根据点到直线的距离公式即可求得点P的坐标.
解:直线y=x/2与双曲线(k0)交于AB两点,且点A的横坐标为2
A的纵坐标为1
k=2×1=2
反比例函数的图象关于原点对称,
ABPQ为顶点组成的四边形为平行四边形,点B的坐标为(-2-1),
Ay轴的平行线,过Bx轴的平行线,两线交于D

 


AD=2BD=4
AB=2√5
四边形APBQ面积是6
SAPB=3
PAB距离=3√5/5
P在双曲线上,

Px2/x),
根据点到直线距离公式,d=lx-4/xl / √5=3√5 / 5,
x=4或者x=-1(舍去)或者x=-4(舍去)或者x=1

所以P41/2)或者P12).

 

学习过程

一、复习巩固

1.反比例函数y= 的图象经过点A(-3,2),则此反比例函数的解析式为    .区别于一次函数y=kx+b, 类似正比例函数y=kx,反比例函数y= 中只有    个待定系数k,只需    x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式.(为学习例3做准备

2.y=- 的图象叫     ,图象位于第   象限,在每一象限内,x增大时,y   ;函数y= 图象在第   象限,在每个象限内yx的减少而    . 

二、合作探究

【例1】已知反比例函数的图象经过点A(2,6).

(1)这个函数的图象分布在哪些象限?yx的增大如何变化?

(2)B(3,4),C D(2,5)是否在这个函数的图象上?

:

 

 

 

 

 

【变式训练1(1)若点B(-3,-3n+5)在此双曲线上,n=      . 

(2)C为此反比例函数图象上任意一点,CD垂直Ox于点D,CE垂直Oy于点E,求四边形ODCE的面积.(反过来若C为此反比例函数y= 图象上任意一点,CD垂直Ox于点D,CE垂直Oy于点E,四边形ODCE的面积是5,k的值.)

 

 

 

 

 

【例2】如图是反比例函数y= 的图象的一支,根据图象回答下列问题:

(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围 是什么 ?

 

 

 

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)B(a',b'),如果a>a',那么bb'有怎样的大小关系?

 

 

【变式训练2(1)在这个函数图象上任取点M(x1,y1)和点N(x2,y2),x1<x2<0,那么y1y2有怎样的大小关系?

 

(2) 比较 的大小.

 

 

 

三、评价作业

1.(10)已知函数y= 的图象经过点(2,3),下列说法正确的是(  )

A.yx的增大而增大

B.函数的图象只在第一象限

C.x<0,必有y<0

D.(-2,-3)不在此函数的图象上

2.(10)反比例函数y= 的图象经过点(2,5),若点(1,n)在反比例函数图象上,n等于(  )

A.10       B. 5

C.2           D.-6

3.(10)在反比例函数y=- 的图象上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),x1>x2>0>x3,则下列各式中正确的是(  )

A.y3>y1>y2     B.y3>y2>y1

C.y1>y2>y3     D.y1>y3>y2

4.(10)在反比例函数y= 的图象所在的每个象限中,如果函数值y随自变量的x值增大而增大,那么常数k的取值范围是    . 

5.(10)如图,P是反比例函数y= 图象上的一点,PDx轴于D,POD的面积为    . 

6.(10)如图,P是反比 例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反 比例函数的关系 式是        . 

7.(20)如图,ABx,分别交双曲线y= y =- A,B,ABO的面积.

 

 

8.(20)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A,B两点.

(1)根据图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;

 

 

 

 

 

(2)根椐函数图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

参考答案

一、复习巩固

1.y=  1 1

2.双曲线 二、四 增大 一、三 增大

二、合作探究

【例1:(1)设这个反比例函数为y= ,

象过点A(2,6),

6= .解得k=12.

这个反比例函数的表达式为y= .

k>0,

这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内,yx的增大而减小.

(2)把点B,C,D的坐标代入y= ,可知点B,C的坐标满足函数关系式,D的坐标不满足函数关系式,所以点B,C在函数y= 的图象上,D不在这个函数 的图象上.

【变式训练1(1)3 解析:x=-3,y=-3n+5代入y= , =-3n+5,解得n=3.

(2):设点C(a,b),a·b=12,S四边形ODCE=OD·CD=|a|·|b|=|a·b|=12;C为此反比例函数y= 图象上任意一点,四边形ODCE的面积是5,k的值为±5.

【例2:(1)反比例函数图象的分布只有两种可能,分布在第一、第三象限,或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限,则另一支必在第三象限.

函数的图象在第一、第三象限,

m-5>0.解得m>5.

(2)m-5>0,在这个函数图象的任一支上,yx的增大而减小,

∴①a>a'>00>a>a',b<b';

a>0>a',b>b'.

【变式训练2(1):m-5>0,在这个函数图象的任一支上,yx的增大而减小,x1<x2<0,说明M(x1,y1)和点N(x2,y2)都在第三象限的分支上,

y1>y2.

(2):对于反比例函数y= 而言, 分别表示x=2x=3时对应的函数值,

m-5>0,

5-m<0,

反比例函数y= 图象的每个分支上,yx的增大而增大,

2<3,

.

三、评价作业

1.C 2.A 3.A 4.k<  5.1 6. y=

 

7.:ABx,分别交双曲线y= y=- A,B,

ABy,

SAOD= ×|-2|=1,SBOD= ×1= ,

SABO=SAOD+SBOD=1+ .

8.:(1)A(-2,1)代入y= ,m=-2;

反比例函数为y=- ;

B(1,n)代入y=- ,n=-2;

B坐标为(1,-2),

A(-2,1),B(1,-2)代入一次函数y=kx+b,

解得

一次函数的解析式为y=-x-1.

(2)由函数图象可知,一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为x<-20<x<1.

 

 

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