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一次函数知识点归纳总结-一次函数的图像和性质详细信息
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一次函数知识点归纳总结
一、一次函数的定义
一次函数是形如 y=kx+b(其中 k 和 b 是常数,且 k=0)的函数。其中 x 是自变量,y 是因变量,k 是斜率,b 是截距。
二、一次函数的性质

  1. 斜率 k 的意义:
    1. 当 k>0 时,函数图像从左到右上升,函数是增函数;
    2. 当 k<0 时,函数图像从左到右下降,函数是减函数;
    3. 当 k=0 时,函数图像是一条平行于 x 轴的直线,但此时函数不是一次函数。
  2. 截距 b 的意义:
    1. 当 b>0 时,函数图像与 y 轴交于正半轴;
    2. 当 b<0 时,函数图像与 y 轴交于负半轴;
    3. 当 b=0 时,函数图像通过原点。
  3. 一次函数的图像是一条直线。

一次函数知识点归纳总结 

三、一次函数的图像变换

  1. 平移:
    1. 向上平移 a 个单位,函数变为 y=kx+b+a
    2. 向下平移 a 个单位,函数变为 y=kx+ba
    3. 向左平移 a 个单位,函数变为 y=k(x+a)+b
    4. 向右平移 a 个单位,函数变为 y=k(xa)+b
  2. 伸缩:
    1. 纵坐标伸缩 a 倍(a>0),函数变为 y=akx+b
    2. 横坐标伸缩 a 倍(a>0),函数变为 y=k(ax​)+b

四、一次函数的应用

  1. 线性方程:一次函数 y=kx+b 可以表示一个线性方程,其解集为函数图像上的所有点。
  2. 实际问题建模:一次函数常用于描述两个变量之间的线性关系,如速度、距离和时间的关系,价格与数量的关系等。

五、一次函数的求解

  1. 已知两点求一次函数:设两点为 (x1​,y1​) 和 (x2​,y2​),则斜率 k=x2​−x1​y2​−y1​​,截距 b=y1​−kx1​。
  2. 已知斜率和一点求一次函数:设斜率为 k,点为 (x0​,y0​),则截距 b=y0​−kx0​,函数为 y=kx+y0​−kx0​。
  3. 已知截距和一点求一次函数:设截距为 b,点为 (x0​,y0​),则斜率 k=x0​y0​−b​,函数为 y=x0​y0​−bx+b

六、一次函数与方程、不等式的联系

    • 一次函数 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标是方程 kx+b=0 的解。
    • 一次函数 y=kx+b 与 x 轴交点上方(或下方)的部分对应不等式 kx+b>0(或 kx+b<0)的解集。
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