连续是偏导数存在的什么条件

　　连续是偏导数存在的充分不必要条件，即偏导数存在且连续则函数可微，函数可微推不出偏导数存在且连续。偏导数f'x（x0，y0）表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y（x0，y0）表示固定面上一点对y轴的切线斜率。
　　1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。
　　2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微，则二元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。
　　3、二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。
　　4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则二元函数f在该点可微。
 

　　判断可导、可微、连续的注意事项：
　　1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。
　　2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下:
　　（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。
　　（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。
　　（3）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。
　　（4）函数连续，偏导数不一定存在，函数不一定可微。
　　（5）函数不连续，偏导数不一定存在，函数不可微。
条件是设有二元函数z=f(x，y)，点(x0，y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x，y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)。
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x，y)在(x0，y0)处对x的偏导数，记作f'x(x0，y0)或函数z=f(x，y)在(x0，y0)处对x的偏导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x，y)在(x0，y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0，y0)。
偏导数性质：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导。当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。
设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b)内具有一阶和二阶导数，那么：1、若在（a，b)内f''(x)大于0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的；2、若在（a，b)内f''(x)小于0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的。
　　二元函数偏导数的几何意义
　　在二元导数的背景下的几何意义如下。假设我们现在有一个二维的函数z=f(x,y)，它是三维空间中的一个曲面。现在考察其中的一个点M0，坐标为(x0, y0, f(x0, y0))。然后过该点做一个垂直于XoZ的平面y=y0，这个平面和原来的平面会有一个相交的曲线z= f(x, y0)。这个曲线只剩下一个变量x（y已经固定成y0了），因此这个曲线z= f(x, y0)退化成了一个一元函数z= f(x)，它的导数f’(x)，也就是偏导数在(x0, y0)处的取值就是这个曲线在点M0处的切线M0Tx相对x轴的斜率。
　　就像一个长条吐司面包，沿着y轴摆好。这个长条吐司面包原来有一个金黄色的表皮，这个金黄色的表皮就是我们的二元函数曲面z=f(x,y)。然后在其中选择一点M0，坐标为(x0, y0, f(x0, y0))，的y=y0处切了一片下来，这样这个表皮和这个切片就会相交为一条线（不考虑切片的厚度）。切下来以后，这个表皮线在这个点上的对x轴的斜率就是原来的二元函数在这一点对于x的偏导数。