| 宜城教育资源网www.ychedu.com 二次函数的图像和性质
二次函数 y = ax 2 + bx + c （其中 a = 0 ）的图像是一个抛物线。这个抛物线的形状、开口方向和位置取决于系数 a 、b 和 c 。
图像和性质
- 开口方向：
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上。
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 顶点：
- 抛物线的顶点坐标为 (− 2 ab , c − 4 ab 2 ) 。
- 顶点是抛物线的最低点（当 a > 0 ）或最高点（当 a < 0 ）。
- 对称轴：
- 抛物线的对称轴是直线 x = − 2 ab 。
- 抛物线关于这条直线对称。
- 与x轴的交点：
- 抛物线与x轴的交点（即 y = 0 的解）是方程 ax 2 + bx + c = 0 的根。
- 根据判别式 Δ = b 2 − 4 ac ，可以确定交点的数量：
- 当 Δ > 0 时，有两个不同的交点。
- 当 Δ = 0 时，有一个交点（即顶点在x轴上）。
- 当 Δ < 0 时，没有交点。
- 与y轴的交点：
- 抛物线与y轴的交点是当 x = 0 时的 y 值，即 y = c 。
- 最值：
- 当 a > 0 时，函数有最小值，发生在顶点处。
- 当 a < 0 时，函数有最大值，发生在顶点处。
示例
考虑二次函数 y = 2 x 2 + 4 x + 1 ：
- 开口方向：因为 a = 2 > 0 ，所以抛物线开口向上。
- 顶点：顶点坐标为 ( −1 , −1 ) 。
- 对称轴：对称轴是 x = −1 。
- 与x轴的交点：解方程 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 ，得到交点为 x = 2−2 ± 2 。
- 与y轴的交点：当 x = 0 时，y = 1 ，所以交点为 ( 0 , 1 ) 。
- 最值：因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，最小值为 −1 ，发生在顶点处。
通过了解这些性质和图像特征，我们可以更好地理解和分析二次函数的行为。 宜城教育资源网www.ychedu.com |
二次函数的顶点公式-二次函数的图像和性质
